에너지 등분배 정리

분배함수를 이해했으면, 에너지 등분배 정리를 유도할 수 있다.
에너지 등분배 정리란, 자유도 마다 $kT/2$의 에너지가 주어진다는 것이다.
음...

어쨌든, 분배함수에서 에너지의 평균값을 불러오면 된다.
이때, 에너지는 어떤 숫자의 제곱 형태로 표현된다고 하자. 즉, x라는 변수(위치, 속력, 각속도, 기타 등등...)의 제곱이 에너지에 들어가 있다. 운동에너지가 대표적으로 그렇게 표현된다.
$Z=\int_\infty^\infty exp(-\beta A x^2)dx$
대충 그렇다 치고, 그렇게 되면 적분은 쉬워진다. 열심히 적분을 하면 (이 적분의 계산에 대해 궁금한 사람은 댓글로 질문을 남기기 바란다.)

$Z=\sqrt{\frac{\pi}{A\beta}$
이렇게 된다. (신기한 적분의 세계다...원주율이 왜 나왔을까요? ㅋㅋ)

이제, 로그 취하고 미분하자. 이때 E는 x라는 변수에 관한 에너지이다.
$<E>=(\partial/\partial\beta)ln(Z)=\frac{1}{2\beta}=\frac{1}{2}kT$

툭 튀어나왔다. 즉, 변수 x에 대한 에너지는 $\frac{1}{2}kT$로 주어진다. x가 여러개 있으면 에너지의 종류도 그만큼 여러개 있는 거고, 각각이 $\frac{1}{2}kT$만큼의 에너지를 갖고 있으므로 n개의 변수가 있으면 $\frac{n}{2}kT$이 된다. 물론 변수의 수는 주어진 문제를 풀기 위해 필요한 변수의 수가 될 것이고, 따라서 문제를 풀어야 하는 계의 자유도가 된다.