글
문제 : f(x) = x^(1/4)를 x=0근방에서 테일러 전개하시오.
풀이.
테일러의 정리 : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
그렇다 치고.
0차 미분 : x=0대입하면 f(0)=0
1차 미분 : x의 n제곱 형태니까, 1/4를 아래로 내리고 1/4-1=-3/4를 새로운 지수로 쓰고, x=0을 대입하면 계산 안됨.
2차 미분 : 1/4*(-3/4)를 아래로 내리고 -3/4-1 = -7/4를 새로운 지수로 쓰고, x=0을 대입하면 역시 계산 안됨.
...이런식으로는 아무리 해봐야 계산이 안된다.
왜그럴까?
일단 계산 자체가 틀렸는데, 주어진 함수 f(x)는 0 근방에서 미분이 불가능하다. x<0인 영역에서 함수값이 정의되지 않기 때문에 극한을 취한다는 것 자체가 무리다. x=0에서 미분값이 존재하려면 일단 f(x)가 0에서 연속이어야 한다. (f(x)가 x=0에서 연속이 아니면 미분이 불가능하다. 즉, 일단 미분을 할 수 있기 위해서는 연속이기라도 해야 뭔가 그 다음 단계로 넘어갈 수 있다는 뜻.)
그럼, 어쩌지?
살짝 평행이동해서, x를 x+a로 바꿔놓고 생각해 보자. 이것은 그래프를 a만큼 왼쪽으로 옮긴 것에 해당한다. 좌표축은 그대로 놔두고.
0차 미분 : x=0대입하면 a^(1/4)
1차 미분 : x+a의 n제곱 형태니까, 적당히 잘 쓰면 (1/4)*a^(-3/4)
2차 미분 : 마찬가지로, (-3/16)*a^(-7/4)
뭐, 이렇게 잘 미분해서 대입하면 된다. 테일러 전개에다가 각 항의 차수에 따라 n!으로 나눠주기만 하면 되니까 이대로 가는건 별 문제는 없는데...
문제는 a다. 테일러 전개를 가장 기가막히게 하려면, a를 작게 선택해야 하는데 a가 작아짐에 따라 계수가 무한대로 발산해 버린다.
처음에 a가 0으로 대입된 상태에서 시작한 경우, 즉 x^(1/4)를 그대로 테일러 전개했을 때는 불능밖에 안나왔다. 하지만 x+a로 만들어 놓고 전개했더니 이상한 놈이 나와 버렸다.
차이점?
a=0 대입 -> 전개 -> 결과값=0
전개 -> a=0으로 극한 -> 결과값=무한대
여기서, a=0대입은 사실은 a=0으로 극한을 보낸 것과 마찬가지다. 즉, 전개하는 것과 극한을 보낸 것 사이의 순서에 차이가 있기 때문에 문제가 발생한다. 이것은, 순전히 주어진 함수 f(x)가 x=0에서 연속이 아니기 때문에, 테일러 전개 자체가 완전히 불가능한 상황이기 때문에 발생한다.
그럼, 아예 안되는 건가?
이런 때를 대비해서, 복소수 해석학이라는 것이 있다. 실수에서 안되는 건 복소수로 넘기면 뭔가 된다. 해보자. 아자.
x를 복소수라고 하자. 복소수의 변수는 일반적으로 z라고 쓰니까, f(z) = z^(1/4)라고 하자.
모든 복소수는 그 크기 |z|=r과 위상각t로 표현할 수 있다. 즉 z=r*exp(i*t)로 나타낼 수 있다. 여기서 i는 제곱하면 -1이 되는 허수 단위이다.
f(z)는 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다
f(z) = r^(1/4) * exp(i*t/4)
이제 미분을 어떻게 할까? 일단 t방향(돌아가는 방향)으로 미분하는건 뭐 얼마든지 할 수 있다. 지수함수니까 한두번을 하든 백만번을 하든 얼마든지 미분이 된다. 문제는 r방향이다. (반지름 방향)
저건 여전히 원래의 f(x)를 미분하는 문제와 전혀 달라지지 않았다. r은 양의 실수로만 정의되기 때문이다. 따라서, x=0인 근방에서 미분을 하는 문제는 결국 복소수로 가더라도 어쩔 수 없다.
즉, 아예 안된다.
왜 안되지?
테일러 정리의 정확한 표현을 보면 다음과 같다.
즉, 이 문제에 주어진 f(x)는 열린 구간 (0, x)에서는 얼마든지 미분할 수 있지만 닫힌 구간 [0,x]에서는 한번도 미분이 불가능하다. 애초에 테일러 정리를 쓰면 안된다는 뜻이다!
음...일단 여기서 멈춤.
*꼼지락 님의 댓글을 참고하여 일부 수정함.
풀이.
테일러의 정리 : http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem
그렇다 치고.
0차 미분 : x=0대입하면 f(0)=0
1차 미분 : x의 n제곱 형태니까, 1/4를 아래로 내리고 1/4-1=-3/4를 새로운 지수로 쓰고, x=0을 대입하면 계산 안됨.
2차 미분 : 1/4*(-3/4)를 아래로 내리고 -3/4-1 = -7/4를 새로운 지수로 쓰고, x=0을 대입하면 역시 계산 안됨.
...이런식으로는 아무리 해봐야 계산이 안된다.
왜그럴까?
일단 계산 자체가 틀렸는데, 주어진 함수 f(x)는 0 근방에서 미분이 불가능하다. x<0인 영역에서 함수값이 정의되지 않기 때문에 극한을 취한다는 것 자체가 무리다. x=0에서 미분값이 존재하려면 일단 f(x)가 0에서 연속이어야 한다. (f(x)가 x=0에서 연속이 아니면 미분이 불가능하다. 즉, 일단 미분을 할 수 있기 위해서는 연속이기라도 해야 뭔가 그 다음 단계로 넘어갈 수 있다는 뜻.)
그럼, 어쩌지?
살짝 평행이동해서, x를 x+a로 바꿔놓고 생각해 보자. 이것은 그래프를 a만큼 왼쪽으로 옮긴 것에 해당한다. 좌표축은 그대로 놔두고.
0차 미분 : x=0대입하면 a^(1/4)
1차 미분 : x+a의 n제곱 형태니까, 적당히 잘 쓰면 (1/4)*a^(-3/4)
2차 미분 : 마찬가지로, (-3/16)*a^(-7/4)
뭐, 이렇게 잘 미분해서 대입하면 된다. 테일러 전개에다가 각 항의 차수에 따라 n!으로 나눠주기만 하면 되니까 이대로 가는건 별 문제는 없는데...
문제는 a다. 테일러 전개를 가장 기가막히게 하려면, a를 작게 선택해야 하는데 a가 작아짐에 따라 계수가 무한대로 발산해 버린다.
처음에 a가 0으로 대입된 상태에서 시작한 경우, 즉 x^(1/4)를 그대로 테일러 전개했을 때는 불능밖에 안나왔다. 하지만 x+a로 만들어 놓고 전개했더니 이상한 놈이 나와 버렸다.
차이점?
a=0 대입 -> 전개 -> 결과값=0
전개 -> a=0으로 극한 -> 결과값=무한대
여기서, a=0대입은 사실은 a=0으로 극한을 보낸 것과 마찬가지다. 즉, 전개하는 것과 극한을 보낸 것 사이의 순서에 차이가 있기 때문에 문제가 발생한다. 이것은, 순전히 주어진 함수 f(x)가 x=0에서 연속이 아니기 때문에, 테일러 전개 자체가 완전히 불가능한 상황이기 때문에 발생한다.
그럼, 아예 안되는 건가?
이런 때를 대비해서, 복소수 해석학이라는 것이 있다. 실수에서 안되는 건 복소수로 넘기면 뭔가 된다. 해보자. 아자.
x를 복소수라고 하자. 복소수의 변수는 일반적으로 z라고 쓰니까, f(z) = z^(1/4)라고 하자.
모든 복소수는 그 크기 |z|=r과 위상각t로 표현할 수 있다. 즉 z=r*exp(i*t)로 나타낼 수 있다. 여기서 i는 제곱하면 -1이 되는 허수 단위이다.
f(z)는 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다
f(z) = r^(1/4) * exp(i*t/4)
이제 미분을 어떻게 할까? 일단 t방향(돌아가는 방향)으로 미분하는건 뭐 얼마든지 할 수 있다. 지수함수니까 한두번을 하든 백만번을 하든 얼마든지 미분이 된다. 문제는 r방향이다. (반지름 방향)
저건 여전히 원래의 f(x)를 미분하는 문제와 전혀 달라지지 않았다. r은 양의 실수로만 정의되기 때문이다. 따라서, x=0인 근방에서 미분을 하는 문제는 결국 복소수로 가더라도 어쩔 수 없다.
즉, 아예 안된다.
왜 안되지?
테일러 정리의 정확한 표현을 보면 다음과 같다.
If n ≥ 0 is an integer and ƒ is a function which is n times continuously differentiable on the closed interval [a, x] and n + 1 times differentiable on the open interval (a, x), then
n이 0보다 큰 정수이고, f가 함수인데, 닫힌 구간인 [a,x]에서 n번 계속해서 미분 가능하고, 열린 구간 (a,x)에서 n+1번 미분 가능하다면...
n이 0보다 큰 정수이고, f가 함수인데, 닫힌 구간인 [a,x]에서 n번 계속해서 미분 가능하고, 열린 구간 (a,x)에서 n+1번 미분 가능하다면...
즉, 이 문제에 주어진 f(x)는 열린 구간 (0, x)에서는 얼마든지 미분할 수 있지만 닫힌 구간 [0,x]에서는 한번도 미분이 불가능하다. 애초에 테일러 정리를 쓰면 안된다는 뜻이다!
음...일단 여기서 멈춤.
*꼼지락 님의 댓글을 참고하여 일부 수정함.
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