이번시간에는 진자의 등시성을 수학적으로 증명해 보자.
일단, 진자의 등시성이 뭔지나 알아야 증명을 하겠다. 진자의 등시성이란 "길이가 같은 진자는 질량에 관계 없이 주기가 같다"는 것이다.

원래 이런 문제를 풀 때는 관습적으로 공기의 저항은 무시한다. (그러려니 하자.)

그림을 하나 퍼왔다. 원본 출처는 아래.
http://moolynaru.knu.ac.kr/high_phy_ii/force/26%EB%8B%A8%EC%A7%84%EC%9E%90/26%EB%8B%A8%EC%A7%84%EC%9E%90.htm
진자는 진자의 끈이 팽팽하게 당겨져 있는 한 어쨌든 원 위에서 움직일 수밖에 없다. 따라서, 중력을 어느 방향으로 받든지간에 상관 없이, 실제로 중력과 장력의 합력은 접선 방향으로만 나타나게 된다. 그림을 보면 진자를 가운데로 끌어당기는 힘은 $mg \sin\theta$가 있다. 중력 중에서 오직 그만큼만 실제로 작용하게 된다는 뜻이다. (왜 그렇게 되는지는 자습.)

그럼 우리의 위대한 방정식 F=ma를 적용하면
$ma=-mg sin\theta$
앞에 -부호가 붙은 이유는, 힘이 작용하는 방향이 $\theta$가 커지는 방향의 반대방향이기 때문이다. 중심점 근처에서 $\theta$가 커지는 방향은 바깥 방향인데 (그림의 상황에서는 오른쪽) 힘이 실제로 작용하는 방향은 안쪽 방향이다. (그림에서는 오른쪽)

그리고 여기서 가정이 하나 더 들어간다. 별다른 이유는 없지만, 진자가 움직이는 진폭이 아주 작다고 가정한다. 여기서 "아주 작다"는 말의 의미는 "그렇게 가정해서 풀어도 틀리지 않을 정도로 작다"는 뜻이다. 즉, 진폭이 커지면 이렇게 풀 수 없다. 진폭이 커지게 되면 비선형 방정식이 나오는데, 비선형 방정식은 풀기가 대단히 어렵다. 진폭이 작으면 $\theta$가 작다는 뜻이므로 $mg \sin\theta$를 근사식으로 적어서 대략 $mg \theta$로 쓸 수 있다. (원한다면 sin함수의 3차까지 써도 된다. 물론 그 방정식은 알아서 잘 풀어보자. 여기서는 다루지 않는다.)

$ma=-mg\theta$

따라서
$a=-g\theta$
일단, 여기서 질량이 사라졌다는 사실에 놀라워해야 한다. 여기서, 왼쪽에 있던 ma의 m은 관성질량이고 오른쪽에 있던 mg의 m은 중력질량인데, 둘을 약분해도 괜찮다는 사실을 아인슈타인이 말했었다. 이게 그 유명한 일반 상대성 원리다.
그럼, 가속도는 무엇의 가속도인가? 당연히 변위의 2차 미분이다. 여기서 변위는 x인데, 우리는 지금 변수를 $\theta$로 쓰고 있었으므로 둘을 바꿔줄 필요가 있다.
위의 그림을 보면 알겠지만, sin값은 높이를 빗변의 길이로 나눈 값이고, 빗변을 $l$이라고 하고 높이를 $x$라고 하면, $\theta = x/l$이 된다. 대입하자.
$a=-gx/l$
여기서 $g$랑 $l$은 상수니까 신경 안써도 되고, 어쨌든 x를 두번 미분한게 a니까, 두번 미분해서 자기 자신이 그대로 나오고 -가 붙는 함수를 찾으면 된다. 당연히, 누구나 알겠지만 sin과 cos함수가 있다. 넣자.
$x=Asin(\sqrt{g/l}t)+Bcos(\sqrt{g/l}t)$
여기서 A와 B는 처음에($t=t_0$) 어디서 얼마나 빠르게 시작했느냐에 따라서 달라진다. 즉, 진자를 처음에 밀 때 어디서 어느 방향으로 얼마나 세게 밀어줬는지에 따라서 결정된다.

(여기서, sin함수와 cos함수 이외의 다른 함수가 있지 않은가? 라고 생각할 수도 있는데, sin과 cos함수만 있으면 모든 진동을 다 표현할 수 있고, 그 외의 다른 함수로 표현해봐야 그건 sin과 cos함수의 합 정도로 표현된다는 것을 증명할 수 있다.)

그럼 저 함수는 시간이 $2\pi\sqrt{l/g}$만큼 지날 때마다 원래 자리로 원래의 속력을 갖고 되돌아 오게 된다. 즉, 바로 이 시간이 진자의 주기가 된다. 그런데, 주기를 나타내는 식을 보면 질량이 보이지 않는다. (아까 사라졌으니까....)
따라서 단진자는 길이와 중력가속도가 정해지면 그 주기도 결정되며, 질량이 얼마나 큰가에는 영향을 받지 않는다. (단, 진자의 끈이 끊어지지는 않는다는 가정이 또 필요하다.)

이 성질을 이용해서 중력가속도를 측정할 수 있는데, 공대, 자연대 가면 필수적으로 듣지만 대부분 싫어하는 일반물리학 실험에서 다루게 된다.

이에 대한 좀 더 자세한 설명은 아래 페이지를 참고하자.
http://physica.gsnu.ac.kr/phtml/mechanics/oscillation/application/application.html



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by snowall 2009.09.29 23:13
  • dbskzh 2009.09.30 14:44 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    감사합니다ㅠㅠ
    어떤 분이 "공기 저항 있어도 감쇄진동 하면서 주기는 일정하다"고 했는데
    그럼 그건 뻥인가요???

    • snowall 2009.09.30 14:59 신고 EDIT/DEL

      엄밀히 말해서 감쇄진동은 주기운동이 아니죠. 방정식을 잘 풀어보면 주기가 발견되지 않습니다. 진동하는 항 앞에 진폭이 지수함수적으로 줄어드는 부분이 붙어서 주기함수가 안나오죠.
      다만, 진폭이 줄어드는걸 무시하고 진동하는 부분만 생각한다면 주기는 일정합니다. 근데 진폭이 줄어드는걸 무시한다는 것이 결국은 공기저항을 무시한다는 것과 같기 때문에, 아주 엄밀히 말한다면 "공기저항 있어도 감쇄진동하면서 주기는 일정하다"는 말은 거짓입니다.

      엄밀히 말하지 않고 일상 생활에서 상식적으로 받아들이는데는 참으로 간주해도 별 문제는 없습니다.

  • 2011.03.19 12:27 ADDR EDIT/DEL REPLY

    비밀댓글입니다

    • snowall 2011.03.19 14:21 신고 EDIT/DEL

      차원분석은 별게 아니라 각 값들을 표현하는 단위를 si기본단위로 놓고 계산하는 거예요.

    • snowall 2011.03.19 14:22 신고 EDIT/DEL

      g/l은 차원이 시간의 제곱의 역수니까 그 값의 제곱근의 역수는 시간이 되죠

  • 인간 2017.10.02 14:39 신고 ADDR EDIT/DEL REPLY

    저 4학년인데 쉽게 설명해 주시면 좋겧습니다.

    • snowall 2017.10.06 22:17 신고 EDIT/DEL

      그러게요... 쉬웠으면 좋겠지만 이건 어려운 문제예요. 대학교 4학년때 다시 물어보세요.