어려운 수학문제 : 임의의 n분 만들기

수학자들은 습관적을 일반화시키기를 좋아한다. (거의 직업병임.)

http://snowall.tistory.com/1852

일단 이 글을 읽고나서, 다음과 같은 문제를 풀어보자.

정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. (얼마든지 쓸 수 있다.)

이 도화선을 이용해서 1분부터 59분까지, 각 1분 간격으로 모든 시간을 잴 수 있을까?
잴 수 있다면 어떻게 가능한가?
모든 경우에 대해서 불가능하다면, 가능한 경우가 있고 불가능한 경우가 있을 것인데, 어떻게 구별할 수 있을것인가?

일단, 앞에 이미 썼던 쉬운 경우의 문제에 대해서, 15분, 30분, 45분이 가능함은 쉽게 증명할 수 있다. 또한, 만약 n분을 잴 수 있다면 n+15분, n+30분, n+45분을 잴 수 있다. (이것은 쉽게 증명된다.) 따라서 1분부터 14분까지 잴 수 있다는 것만 증명하면 된다.

또한, 만약 n분을 잴 수 있다면 15-n분도 잴 수 있다. (이것 또한 쉽게 증명된다. 15분과 n분을 동시에 재기 시작한 후, n분이 다 끝난 시간부터 15분이 끝날 시간까지 재면 15-n분이 된다.) 따라서 1분부터 7분까지 잴 수 있다는 것만 증명하면 된다.

n분을 잴 수 있고 m분을 잴 수 있다고 하자. 여기서 m과 n은 둘 다 임의의 자연수이고 m>n이라고 하자. 그럼 m-n분도 잴 수 있다. (앞에서 15-n분을 잰 것과 같다.)

만약 n분을 잴 수 있다면 임의의 자연수 m에 대해서 m*n분도 잴 수 있다.(n분을 재는 것을 m번 반복하면 됨.) 따라서 1분을 잴 수 있다면 이 문제는 모두 해결된다.

7분을 잴 수 있다고 하자. 그럼 앞에서 말한 방법을 통해 15-7=8분을 잴 수 있다. 그럼, 따라서, 8-7=1분도 잴 수 있다.
따라서 7분을 잴 수 있다는 것만 증명해도 이 문제는 모두 해결된다.

만약 4분을 잴 수 있으면 8분을 잴 수 있다. 그럼 7분도 잴 수 있고, 따라서 이 문제는 모두 해결된다.

만약 2분을 잴 수 있으면 4분을 잴 수 있으므로 문제가 해결된다.

즉, 1분, 2분, 4분, 7분 중의 하나만 잴 수 있어도 이 문제가 해결된다.
(좀 더 정확히 말하면, 3과 5의 배수가 아닌 분 중의 하나라도 잴 수만 있으면 이 문제는 해결된다.)

이후로는...아직 생각이 안난다.

그럼, 이제 좀 더 어려운 문제에 도전해 볼 수 있다.

정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. 이 도화선을 이용해서 주어진 유리수 k에 대해서 k분의 시간을 잴 수 있을까?

그리고 좀 더 자극적인 것을 원하는 사람을 위하여 다음과 같은 문제를 준비해볼 수 있다.

정확히 1시간동안 타는 도화선이 여러개 있다. 이 도화선을 이용해서 주어진 실수 k에 대해서 k분의 시간을 잴 수 있을까?

추가하자면, 이 문제는 대수학 문제다. 군의 정의와 확장이 필요하다.