만두

만두가 있다.

만두가 크다. 원래 7개 나오는 만두인데 한개는 내 뱃속에 있어서 찍지 못하였다.

질문.

만두피의 원가를 a, 만두소의 원가를 b라고 가정하자.

만두피의 원가가 x배, 만두소의 원가가 y배만큼 변했을 때 가격을 유지하기 위해서 만두의 크기를 어떻게 바꿔야 할까?

풀이.

하나의 만두에 들어가는 만두피의 양은 표면적 S에 비례하고, 만두소의 양은 부피 V에 비례한다. 만두피의 원가가 a라면, 하나의 만두에 들어가는 만두피의 가격은 aS라고 생각할 수 있다. 같은 식으로, 만두소의 가격은 bV가 된다. 따라서 만두 하나의 원가는 aS+bV가 된다.

만두피의 원가가 x배가 되었다면, 만두피의 가격은 xaS가 된 것이다. 만두의 부피와 표면적은 길이의 세제곱과 제곱에 각각 비례하는데, 이 적당한 길이를 L이라고 하자. 가령, 길이와 부피의 관계는 V = kL^3이고, 길이와 표면적의 관계는 S = hL^2 이 된다.

이걸 다 때려넣고 만두 하나의 가격을 생각해 본다면, 이 문제는 다음과 같다. xahL^2 + ybkL^3가 변하지 않는 L과 x와 y의 관계식을 찾는 것이다.

간단히 바꿔서,

pL^2 + qL^3 = z
이때 L(p, q)의 형태를 찾는 것이 문제가 된다.

이 문제는 이미 풀려 있는 3차방정식이고, 근의 공식을 참고하면 된다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function