큰거 재기 #2 - 달까지의 거리

지구의 반지름을 알았으면 그 다음은 달까지의 거리를 알아볼 차례다.

달까지 거리는 현대에 와서는 아주 간단히 알아볼 수 있는데, 레이저를 달에 쏘아서 되돌아오는 시간을 재면 된다.

속력 = 거리 / 시간

우리는 빛의 속력이 299,792,458m/s 이라는 사실을 알고 있으므로, 시간만 정확히 재면 지구에서 달까지의 거리를 정확히 알 수 있다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_Laser_Ranging_experiment

모서리거울의 원리.

들어온 곳으로 빛을 되돌려 보내는 거울. Retro-reflector.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lunar_Laser_Ranging_experiment Copyright@NASA

예전에 미국 사람들이 달에 여행갔을 때 두고온 모서리거울이 있는데, 이 거울에 레이저를 쏘면 쏜 곳으로 다시 되돌아오므로 꽤 강력한 레이저와 측정기만 있으면 누구나 달이 얼마나 멀리 떨어져 있는지 알 수 있다. 그리고 앞서 이야기했듯, 시간은 매우 정확하게 잴 수 있기 때문에 달까지의 거리를 매우 정확하게 알아낼 수 있다.

그러나 이 방법은 일단 달에 다녀와야 하기 때문에 돈이 많이 들어간다. 인간이 달에 다녀오기 전에 달까지의 거리를 재는 방법은 시차 측정이었다. 시차(示差)는 서로 다른 두 위치에서 하나의 물체를 바라보면, 물체의 위치가 보는 위치에 따라 달라 보이는 현상이다. 대표적으로, 손가락을 눈 앞에 세우고 바라보면 어디에 집중하느냐에 따라 배경이 두개로 보이든가 손가락이 두개로 보이든가 하는데, 이것이 바로 시차 때문에 나타나는 현상이다.

달은 그 뒤에 아주 많은 별들을 배경으로 깔고 있다. 따라서, 동시에 달을 바라보더라도 위치가 다르면 그 뒤에 보이는 별들의 위치가 달라 보이는데 이 때의 각도를 알아내면 달까지 거리를 알 수 있다.

http://100.daum.net/encyclopedia/view.do?docid=b13s2175b001

직접 찍은 달 사진.

땅에서 봤을 때 어떤 천체를 올려다 본 각도를 그 천체의 고도라고 한다. 이 각도를 a라고 하자.

그럼, 지구에서 달을 바라보면, 위와 같은 사각형을 그릴 수 있다. 지평면에 대해서 올려다 본 각도를 잰 것이므로 a는 지평면과 달 사이의 각도가 된다. 그리고, 지평면과 지구 중심에서 관찰자 위치까지는 90도의 각도를 이룬다. 마찬가지로, 지구 저편의 어딘가에서 같은 관찰을 할 수 있는데 그곳에서 잰 달의 고도를 b라고 하자. 그럼 두 관찰 지점 사이의 각도를 c라고 할 수 있다. c는 지구 반지름을 알고 있으므로, a지점과 b지점 사이의 거리를 재면 호와 원주각 사이의 관계로부터 각도를 얻어낼 수 있다. 그럼, a, b, c, d는 사각형을 이루므로 a+90도+b+90도+c+d = 360도가 되어야 한다. 간단한 산수를 통해서, d = 180-(a+b+c) 라는 사실을 알아낼 수 있다.

각도 d를 알아냈으면 이제 지구에서 달까지 거리를 알아낼 수 있는데, 고등학교 때 배운 간단한(!) 삼각함수 공식을 사용해서 얻을 수 있다.

먼저, 두 지점 사이의 거리 H를 알아내야 한다. 간단히 제2코사인 공식을 사용하면 된다. 제2코사인 공식이 기억나지 않아도 별로 상관은 없다. 모르는 사람은 몰라도 되니까 모르고 사는 것이고, 아는 사람은 아니까 된 것이고.

중요한건, 그렇게 해서 H를 구한 다음에, 다시 제2코사인 공식을 사용해서 D를 알아낼 수 있다는 것이다. 이 때, D는 d에서 a로 간 것과 c로 간 것이 차이가 있을 수 있는데, 어차피 큰 차이가 없을 것이므로 둘이 같다고 가정해도 된다. 그러고 싶지 않다면 각도a와 각도b가 같아지는 지점에서 이 관측을 수행하면 된다. 어쨌든 삼각형 adb는 이등변삼각형이라고 치자.

이렇게 된다. 그럼 우리가 필요한건 D일 뿐 H가 아니므로, 위의 공식과 합치고, 관찰한 a와 b를 이용해서 한번에 쓸 수 있다.

이렇게 해서, 우리는 달이 얼마나 높이 떴나 관찰하는 것 만으로 달이 얼마나 멀리 있나 알아낼 수 있다.