우린 항상 손가락을 접어가면서, 또는 펴면서 "하나, 둘, ..." 이렇게 셈을 한다. 이렇게 세는 것으로 10까지 셀 수 있다. 옆사람을 도입하면 20까지도 셀 수 있다. 가령, 전 세계 인류를 모두 동원하면 대략 120억까지는 셀 수 있다. 하지만 그래도, 항상 부족하다. 숫자의 끝까지 세려면 인류가 아무리 많아야 소용없다. 그래서 사람들은 숫자를 만들었다. 세다보니 몇개나 되는지를 말로 쓰게 되고, 말을 기록으로 남긴 것이 문자인데 문자 중에서 몇개인지 쓰는 부분에 해당하는 기호를 숫자라고 부른다.
해서, 아무튼 세다보니 숫자가 발명되었는데, 문제가 생겼다. 몇개인지 세다보면 마주치는 문제가, "여기에 있는 계란이 저기에 있는 계란보다 두배 많은데, 저기에 계란이 열개가 있으면 여기엔 대체 몇개가 있을까?"와 같은 갯수를 모르는 경우에 대해 푸는 문제이다. 이것을 방정식이라고 부르고, 방정식의 해를 찾는 수학을 대수학(Algebra)이라고 부른다. 그런데 수학을 하다보면 항상 문제를 만들어 내게 된다. 예를 들어보자. 자를 갖고서, 가로로 한칸, 세로로 한칸 가는 정사각형을 만들었는데 대각선 길이를 알고 싶은 거다. 자로 재보니까 두칸은 좀 안되는데, 그렇다고 한칸은 넘고. 해서 대충 한칸 반이라고 했는데, 한칸 반보다는 아무리 봐도 약간 모자라는 것이다. 이 문제를 처음으로 도전했던 사람이 피타고라스고, 피타고라스와 그의 제자들은 이 문제를 땅속에 묻었다. 아무튼 그 사람은 가로가 세칸, 세로가 네칸인 직사각형의 대각선 길이가 다섯칸이라는 사실을 알고 있었다. 해서, 이런 문제를 풀다 보니 갯수 세는데 하등의 쓸모가 없는 무리수가 등장한 것이다. 사실 유리수의 등장은 그다지 신기하지가 않다. 왜냐하면 이집트에서는 단위분수로 숫자를 나타내는 방법이 이미 사용되고 있었으므로, 언제나 자연수를 분모와 분자로 가지는 분수로 표현 가능한 유리수들은 그다지 무서울 것이 없다. 하지만 무리수는 다르다. 아무리 끝장을 보려고 해도 끝이 없고, 아무리 정확히 쓰려고 해도 오차가 생긴다. 즉, 피타고라스는 무리수에 대해서 정확히 알 수 없다는 것을 굉장히 두려워한 것 같다.
아무튼 숫자에는 유리수와 무리수가 있고, 이들을 합쳐서 실수(Real number)라고 부른다.

실수는 숫자의 집합이다.

집합이라는 것을 생각한 다음에는, 항상, 그리고 습관적으로, 그 집합이 가지고 있는 원소의 갯수를 세고 싶어한다. 따라서 수학자들은 실수의 갯수를 세기 위해 도전했다.

우선 자연수가 무한히 많다는 것은 증명되어 있었다. 페아노의 공리계에 의하면
자연수 n은 항상 그 다음 숫자인 n+1을 가진다. 또한 1은 어떤 숫자의 다음 숫자도 아니다.
따라서 자연수는 무한히 많다.

실수는 어떻게 셀까? 일단, 두 집합에서 1:1대응 관계를 단 1개라도 발견할 수 있으면 두 집합의 "기수(Cardinality)"가 같다고 한다. 이때, 기수는 무한 집합에서 갯수를 말하는 용어이다. 원래는 기수라는 단어로 써야하지만 난 그냥 친숙하게 갯수라고 부르도록 하겠다.

자연수와 정수는 대응 관계가 있다.
  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. 2
  5. -2
  6. ...
등등. 짝수일 때는 양수, 홀수일 때는 음수, 짝수인 경우는 반으로 나누고, 홀수인 경우는 1을 빼서 반으로 나누면 항상 대응시킬 수 있다. 물론 이렇게 하지 않고 다르게 할 수도 있다.
  1. 1
  2. 0
  3. -1
  4. -2
  5. 2
  6. ...
규칙을 뭐라 말하기는 힘들지만, 이 경우는 원형으로 소용돌이치면서 돌아가는 듯한 느낌으로 대응시키는 것이다.

유리수는? 약간 복잡하지만 규칙을 찾을 수 있다. 어차피 분모랑 분자랑 정수로 떨어지기 때문에, 잘 대응시키면 분모와 분자를 이루는 숫자 2개에서 숫자 1개로 가는 1:1 함수를 찾아낼 수가 있다. 1:1함수라는 뜻은, 숫자 1개를 주면 원래의 숫자 2개가 뭔지도 알아낼 수 있다는 뜻이다.

실수를 보자. 이 실수의 갯수에 대해 논의한 사람이 칸토어다. 증명은 다음과 같다. 실수를 셀 수 있다고 가정하자. 즉, 자연수에 1:1대응을 시킬 수 있다고 하자. 그럼, 0과 1사이의 실수에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.
  1. 0.29462486294862...
  2. 0.386478472184785...
  3. 0.9389786517486714...
  4. 0.913857198571486...
  5. 0.945968194614614...
  6. 0.498472646276545
  7. ...
뭐, 쓰자면 끝도 없겠지만, 아무튼 다 할 수 있다고 했으니 다 했다고 하자. (가정이다!)
이제, 난 저 목록에 없는 숫자를 만들 수 있다.
0.399973...
이 숫자가 저 목록에 없다는 것은 확실하다. 왜냐하면, 첫번째 자리는 1번 숫자랑 다르고, 두번째 자리는 2번 숫자랑 다르고, ... 이런 식으로 n번째 자리는 n번째 숫자와 다르게 할 수 있다.
어떤 n을 갖고 오더라도, 아무리 황당하게 큰 n을 들고 오더라도, 난 그 n번째 숫자와 n번째 자리가 다른 숫자를 제시할 수 있기 때문에 상관 없다. 내가 만들어낸 숫자는 목록에 없다.
아, 딱 떨어지면? 가령 0.5랑 5번째 자리가 다른 숫자는 어떻게 하냐고? 0.50001이면 된다. 아무 문제 없다.
아무튼, 그래서 저 숫자를 적당히 끼워넣자. 목록이 부실하면 채워 넣어야지.
하지만 여전히 또 다른 숫자를 찾아낼 수 있다. 왜? 똑같은 작업을 한번 더 하면 되거든. 따라서 저 목록은 아무리 잘 만들어도 부실한 목록일 수밖에 없다.

따라서, 자연수는 실수보다 훨씬 적다.

이것은 무한이라고 해서 다 같은 무한이 아니라 규모에서 차이가 생긴다는 것을 알 수 있다.

근데 문제가 생긴다. 연속체 가설(Continuum Hypothesis)이라고 하는, 풀 수 없다는 것이 증명된 문제이다.
자연수의 갯수와 실수의 갯수 사이의 갯수를 가지는 어떤 집합이 존재한다.
이 가정은 어떠한 수학적 공리계와도 모순을 일으키지 않는다. 심지어, 이 가정의 부정형 (~존재하지 않는다)도 모순을 일으키지 않는다. 그리고 이것은 폴 코헨에 의해 증명되었다.
http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%B2%B4_%EA%B0%80%EC%84%A4

by snowall 2007. 11. 2. 17:29