루이스 캐롤의 퍼즐

마틴 가드너의 "이상한 나라의 수학자"를 보면, 루이스 캐롤이 만든 재미난 퍼즐과 시들이 있다. 몇개 소개해 둔다.

I often wondered when I cursed,
Often feared where I would be
Wondered where she'd yield her love,
When I yield, so will she.
I would her will be pitied!
Cursed be love! She pitied me...

이 시는 루이스 캐럴이 어떤 아가씨에게 써준 시인데, 흥미롭게도 대칭적이다. 가로로 읽지 말고 세로로 읽어보기를.
푸른미디어에서 나온 "이상한 나라의 수학자(마틴 가드너 지음/ 김진권 옮김)" 를 참고하면 해석은 다음과 같다.

나는 가끔 내가 저주받았으리라 의아해 했다.
내가 지금 어디에 있는지 자주 두려워했다.
그녀가 사랑을 포기한 곳이 어디일까
내가 포기할 때, 그녀도 그럴 것이다
그녀의 결정이 애석하구나!
사랑이 원망스럽다! 그녀가 나를 불쌍히 여긴다면...

같은 책을 보면 이런 퍼즐이 있다.

가방에 흰 색인지 검은 색인지 알 수 없는 종이 하나가 들어 있다. 흰 색 종이 한장을 넣고 가방을 흔든 다음 한장을 꺼냈더니 흰 색이었다. 다음에 흰 색을 꺼낼 확률은 얼마인가?

루이스 캐럴의 해석을 보자

두개의 계산지를 1, 2로 표시하고 2는 흰색 또는 검은색이 될 수 있으므로 검은 색인 경우를 2b, 흰색인 경우를 2w라고 표시하다. 1은 그냥 흰색이다.
처음에 꺼낼 때 네가지 경우가 존재한다.
1이 나오고 2w가 남는 경우
1이 나오고 2b가 남는 경우
2w가 나오고 1이 남는 경우
2b가 나오고 1이 남는 경우

각각의 경우가 나올 확률은 같다. 하지만 네번째 경우는 발생하지 않는데, 우리는 처음에 흰색을 꺼냈기 때문이다. 따라서 세가지 경우만 남게 된다. 그리고 그중에서 다음번에 흰색이 나오는 경우는 두가지이다. 그러므로 답은 2/3이 된다.

좀 더 막장인 문제가 있다.

흰 색 아니면 검은색이라고만 알려진 종이가 두 장 들어있는 가방이 있다. 그것들을 가방에서 꺼내지 않고 색을 정하라.

다음은 캐럴의 놀라운 답이다.

우리는, 만약 가방에 세장의 종이가 있고 2개가 검은색, 하나가 흰 색이라면 검은색을 꺼낼 확률은 2/3이라는 것을 알고 있다. 그리고 다른 어떤 경우도 이 확률은 발생하지 않는다는 것 또한 알고 있다.
이제 가방에 a(BB), b(BW), c(WW)가 들어있을 확률은 각각 1/4 , 1/2, 1/4이다.
검은 색 계산지를 하나 더하자. 그럼 a(BBB), b(BWB), c(WWB)가 될 확률은 앞과 마찬가지로 각각 1/4 , 1/2, 1/4이다. 따라서 여기서 검은 색을 꺼낼 확률은 1/4 + 1/2 * 2/3 + 1/4 * 1/3 = 2/3
따라서, 그 가방에는 BBW인 경우이다. 왜냐하면, 다른 어떤 경우에도 이 확률은 발생하지 않기 때문이다.
그러므로 검은 색 종이가 한장 추가되기 전에는 BW인 상태였고, 따라서 검은색과 흰색이 한장씩 들어 있었다.
[#M_이 증명이 막장인 이유|닫기|이 증명이 엉터리이기 때문이다. 물론 그렇다고 해서 캐럴이 확률 이론을 잘 몰랐다는 증거는 되지 않는다.
이에 대해, 캐럴은 다음과 같이 장난의 정체를 밝히고 있다.
만약 나의 독자들 중 누구라도 나를 항상 진부한 영역에서 일하고 정해진 길에서 과감하게 벗어나길 싫어한다고 비난하려 한다면 나는 자랑스럽게 깊이 있는 확률 문제 하나를 지적할 것이다. 왜냐하면 확률은 수학자들 최고의 모험 정신으로도 아직 조금밖에 탐구되지 않은 주제이다. 보통의 독자에게 있어 이것은 비정상적으로, 심지어 역설적으로 보일지 모른다. 그러나 나는 그런 독자들에게 솔직하게 자신에게 "인생 그 자체도 역설적이지 않은가?"라는 질문을 던지라고 말하고 싶다.

_M#]
음...
물론, 루이스 캐럴은 수학자 맞다.