사물의 크기에 관하여

질문 : 왜 직사각형의 넓이는 가로와 세로를 곱하나요? (강철의 습격자 님)

우선, 어떤 사물의 크기를 정하는 일은 전문적인 수학자들도 대단히 어려워 하는 일이라는 걸 알아 두시기 바랍니다.

가령, 끈이 두개 있다고 해 봅시다. 끈이 구부러져 있으면 끈을 쭉 펼쳐서 한쪽 끝을 맞추고 다른쪽 끝이 어디서 끝나는지 살펴보면 되겠죠? 먼저 끝나는 쪽이 크기가 작고 나중에 끝나는 쪽이 크기가 큽니다. 이 경우 우리는 끈의 크기를 "길이"라고 부릅니다.
그렇다면 직사각형이 두개 있을 때는 어떻게 크기를 정할 수 있을까요? 직사각형은 네개의 각이 모두 직각이 되는 사각형이므로 적어도 한개의 끝을 딱 맞춰놓을 수 있습니다. 이렇게 끝을 딱 맞춰놓고나서 보면 비교할 수 있는 방향이 두군데 있습니다. 이렇게 끝을 맞춰놓은 부분이 아래쪽에 있다고 한다면, 끌을 비교할 수 있는 방향은 위로 가는 방향에 대한 끝과 옆으로 가는 방향에 대한 것이겠죠?

만약 위로 가는 길이가 똑같고 옆으로 가는 길이가 다르다면, 옆으로 가는 길이가 짧은 쪽이 작은 직사각형이고 긴 쪽이 큰 직사각형이 됩니다.
옆으로 가는 길이가 똑같고 위로 가는 길이가 다른 경우에도 마찬가지입니다.

문제는, 옆으로 가는 크기가 더 큰 직사각형이 위로 가는 크기는 더 작은, 그런 경우가 있다는 거겠죠?
그런 경우에 직사각형이 어느것이 더 큰지 어떻게 정할 수 있을까요?

방법은 여러가지가 있습니다. 그중 가장 쉬운 건, 한쪽 끝이 남는 부분을 잘라내서 한쪽 방향으로의 길이를 똑같이 맞춥니다. 그런 다음 잘라낸 부분을 옆에 이어붙여서 다시 크기를 비교하면 됩니다. 그러나 이건 쉽지만 귀찮죠?

그래서 수학자들은 좀 더 편하고 귀찮지 않은 방법을 생각해 냅니다. 두 직사각형을 가늘고 길게 쭉쭉 찢어서 한줄로 이어붙입니다. 그럼 한줄로 이어붙였으니까 길이만 재면 되겠죠?

그럼 어째서 가로길이와 세로길이를 곱해서 크기를 정하는 걸까요?
쭉쭉 찢을 때, 세로로 길게 찢는다고 생각해 봅시다. 세로로 길게 찢는 경우 세로 길이가 길수록 길어집니다. 또한, 가로 길이가 길 수록 더 많이 찢을 수 있습니다. 따라서 두 길이 중 어느 하나가 길더라도 크기가 더 길어질 수 있기 때문에 두 길이를 곱하게 됩니다.